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Note for Discrete Mathematics - DMS By felix mburu

  • Discrete Mathematics - DMS
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Felix Mburu
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Contents 1 Basic Set Theory 7 1.1 Common Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2 Preliminaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3 More on the Principle of Mathematical Induction . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4 Integers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 Advanced Topics in Set Theory 31 Families of Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.2 More on Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.3 More on Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.4 Supplying Bijections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 DR AF T 2.1 3 Countability, cardinal numbers* and partial order 45 3.1 Countable-Uncountable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.2 Partial Orders . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 4 Introduction to Logic 59 4.1 Propositional Logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 4.2 Predicate Logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 5 Lattices and Boolean Algebra 79 5.1 Lattices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 5.2 Boolean Algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 6 Counting 6.1 91 Permutations and Combinations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 6.1.1 Multinomial theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 6.2 Circular Permutations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 6.3 Solutions in Non-negative Integers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 6.4 Set Partitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 6.5 Lattice Paths and Catalan Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 6.6 Some Generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

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4 CONTENTS 7 Advanced Counting Principles 117 7.1 Pigeonhole Principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 7.2 Principle of Inclusion and Exclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 7.3 Generating Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 7.4 Recurrence Relation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 7.5 Generating Function from Recurrence Relation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 8 Graphs 147 8.1 Basic Concepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 8.2 Connectedness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 8.3 Isomorphism in Graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 8.4 Trees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 8.5 Connectivity 8.6 Eulerian Graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 8.7 Hamiltonian Graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 8.8 Bipartite Graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 8.9 Matching in Graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 AF T 8.10 Ramsey Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 8.11 Degree Sequence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 DR 8.12 Planar Graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 8.13 Vertex Coloring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 8.14 Adjacency Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 8.15 More Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 Index 188

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CONTENTS AF T 1 1 1 + + · · · + is not an integer. 2 3 n DR Remained changed to Remainder. 1 + 5

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CONTENTS DR AF T 6

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