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Note for GAS DYNAMICS - GD By JNTU Heroes

  • GAS DYNAMICS - GD
  • Note
  • Jawaharlal Nehru Technological University Anantapur (JNTU) College of Engineering (CEP), Pulivendula, Pulivendula, Andhra Pradesh, India - JNTUACEP
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Contents 1 Introduction 1.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Motivating examples . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Re-entry flows . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1.1 bow shock wave . . . . . . . . 1.2.1.2 rarefaction (expansion) wave 1.2.1.3 momentum boundary layer . 1.2.1.4 thermal boundary layer . . . 1.2.1.5 vibrational relaxation effects . 1.2.1.6 dissociation effects . . . . . . 1.2.2 Rocket Nozzle Flows . . . . . . . . . . 1.2.3 Jet Engine Inlets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Governing Equations 2.1 Mathematical Preliminaries . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Vectors and Tensors . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Gradient, Divergence, and Material Derivatives . 2.1.3 Conservative and Non-Conservative Forms . . . . 2.1.3.1 Conservative Form . . . . . . . . . . . . 2.1.3.2 Non-Conservative Form . . . . . . . . . 2.2 Summary of Full Set of Compressible Viscous Equations 2.3 Conservation Axioms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Conservation of Mass . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1.1 Nonconservative form . . . . . . . . . . 2.3.1.2 Conservative Form . . . . . . . . . . . . 2.3.1.3 Incompressible Form . . . . . . . . . . . 2.3.2 Conservation of Linear Momenta . . . . . . . . . 2.3.2.1 Nonconservative form . . . . . . . . . . 2.3.2.2 Conservative Form . . . . . . . . . . . . 2.3.3 Conservation of Energy . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.3.1 Nonconservative Form . . . . . . . . . . 2.3.3.2 Mechanical Energy . . . . . . . . . . . . 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 9 10 10 10 11 11 12 12 12 12 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 15 15 16 17 17 17 20 21 22 22 22 22 22 22 23 24 24 25

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4 CONTENTS 2.4 2.5 2.3.3.3 Conservative Form . . . . . . . . . . . . . 2.3.3.4 Energy Equation in terms of Entropy . . . 2.3.4 Entropy Inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . Constitutive Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Stress-strain rate relationship for Newtonian fluids . 2.4.2 Fourier’s Law for heat conduction . . . . . . . . . . 2.4.3 Variable first coefficient of viscosity, µ . . . . . . . . 2.4.3.1 Typical values of µ for air and water . . . 2.4.3.2 Common models for µ . . . . . . . . . . . 2.4.4 Variable second coefficient of viscosity, λ . . . . . . 2.4.5 Variable thermal conductivity, k . . . . . . . . . . . 2.4.5.1 Typical values of k for air and water . . . 2.4.5.2 Common Models for k . . . . . . . . . . . 2.4.6 Thermal Equation of State . . . . . . . . . . . . . . 2.4.6.1 Description . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.6.2 Typical Models . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.7 Caloric Equation of State . . . . . . . . . . . . . . 2.4.7.1 Description . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.7.2 Typical Models . . . . . . . . . . . . . . . Special Cases of Governing Equations . . . . . . . . . . . . 2.5.1 One-Dimensional Equations . . . . . . . . . . . . . 2.5.2 Euler Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.3 Incompressible Navier-Stokes Equations . . . . . . 3 Thermodynamics Review 3.1 Preliminary Mathematical Concepts . . . . . . . . . . . . 3.2 Summary of Thermodynamic Concepts . . . . . . . . . . 3.3 Maxwell Relations and Secondary Properties . . . . . . . 3.3.1 Internal Energy from Thermal Equation of State . 3.3.2 Sound Speed from Thermal Equation of State . . 3.4 Canonical Equations of State . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Isentropic Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 One-Dimensional Compressible Flow 4.1 Generalized One-Dimensional Equations 4.1.1 Mass . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.2 Momentum . . . . . . . . . . . . 4.1.3 Energy . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.4 Influence Coefficients . . . . . . . 4.2 Flow with Area Change . . . . . . . . . 4.2.1 Isentropic Mach number relations 4.2.2 Sonic Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 26 26 29 29 33 34 34 35 35 35 35 36 36 36 36 36 36 37 37 37 38 38 . . . . . . . 39 39 40 43 45 47 53 55 . . . . . . . . 59 60 61 61 63 70 71 71 79

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5 CONTENTS 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.2.3 Effect of Area Change . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.4 Choking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Normal Shock Waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1 Governing Equations . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.2 Rayleigh Line . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.3 Hugoniot Curve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.4 Solution Procedure for General Equations of State 4.3.5 Calorically Perfect Ideal Gas Solutions . . . . . . 4.3.6 Acoustic limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.7 Non-Ideal Gas Solutions . . . . . . . . . . . . . . Flow with Area Change and Normal Shocks . . . . . . . 4.4.1 Converging Nozzle . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.2 Converging-Diverging Nozzle . . . . . . . . . . . . Flow with Friction–Fanno Flow . . . . . . . . . . . . . . Flow with Heat Transfer–Rayleigh Flow . . . . . . . . . Numerical Solution of The Shock Tube Problem . . . . . 4.7.1 One-Step Techniques . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7.2 Lax-Friedrichs Technique . . . . . . . . . . . . . . 4.7.3 Lax-Wendroff Technique . . . . . . . . . . . . . . 5 Steady Supersonic Two-Dimensional Flow 5.1 Two-Dimensional Equations . . . . . . . . . 5.1.1 Conservative Form . . . . . . . . . . 5.1.2 Non-Conservative Form . . . . . . . 5.2 Mach Waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Oblique Shock Waves . . . . . . . . . . . . . 5.4 Small Disturbance Theory . . . . . . . . . . 5.5 Centered Prandtl-Meyer Rarefaction . . . . 5.6 Wave Interactions and Reflections . . . . . . 5.6.1 Oblique Shock Reflected From a Wall 5.6.2 Oblique Shock Intersection . . . . . . 5.6.3 Shock Strengthening . . . . . . . . . 5.6.4 Shock Weakening . . . . . . . . . . . 5.7 Supersonic Flow Over Airfoils . . . . . . . . 5.7.1 Flat Plate at Angle of Attack . . . . 5.7.2 Diamond-Shaped Airfoil . . . . . . . 5.7.3 General Curved Airfoil . . . . . . . . 5.7.4 Transonic Transition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 82 85 86 87 87 89 89 100 101 105 105 106 109 115 120 120 121 121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 124 124 124 124 125 136 138 143 143 143 144 145 145 146 150 150 151 6 Linearized Flow 153 6.1 Formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 6.2 Subsonic Flow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

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