Note for Mechanics - MECH by MD WESH KARNI

Topics ( 17 )

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i Classical Mechanics (2nd Edition) Cenalo Vaz University of Cincinnati

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Contents 1 Vectors 1.1 Displacements . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Linear Coordinate Transformations . . 1.3 Vectors and Scalars . . . . . . . . . . . 1.4 Rotations in two dimensions . . . . . . 1.5 Rotations in three dimensions . . . . . 1.6 Algebraic Operations on Vectors . . . 1.6.1 The scalar product . . . . . . . 1.6.2 The vector product . . . . . . . 1.7 Vector Spaces . . . . . . . . . . . . . . 1.8 Some Algebraic Identities . . . . . . . 1.9 Differentiation of Vectors . . . . . . . 1.9.1 Time derivatives . . . . . . . . 1.9.2 The Gradient Operator . . . . 1.10 Some Differential Identities . . . . . . 1.11 Vector Integration . . . . . . . . . . . 1.11.1 Line Integrals . . . . . . . . . . 1.11.2 Surface integrals . . . . . . . . 1.11.3 Volume Integrals . . . . . . . . 1.12 Integral Theorems . . . . . . . . . . . 1.12.1 Corollaries of Stokes’ Theorem 1.12.2 Corollaries of Gauss’ theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 6 8 9 11 14 14 15 17 18 20 20 21 23 25 25 27 27 27 28 29 2 Newton’s Laws and Simple Applications 2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 The Serret-Frenet description of curves . . . . . 2.3 Galilean Transformations . . . . . . . . . . . . 2.4 Newton’s Laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Newton’s Laws and the Serret Frenet Formulæ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 31 32 35 36 39 ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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CONTENTS iii 2.6 2.7 One dimensional motion . . . . . . . . . . . . . . . Motion in a resisting medium . . . . . . . . . . . . 2.7.1 Drag and the projectile . . . . . . . . . . . 2.7.2 Perturbative expansions: an example . . . . 2.8 Harmonic motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8.1 Harmonic motion in one dimension . . . . . 2.8.2 One dimensional oscillations with damping 2.8.3 Two dimensional oscillations . . . . . . . . 2.8.4 Trajectories in the plane . . . . . . . . . . . 2.8.5 Lissajou’s figures . . . . . . . . . . . . . . . 2.9 One dimensional free fall . . . . . . . . . . . . . . . 2.10 Systems with variable mass: the rocket . . . . . . . 3 Conservation Theorems 3.1 Single Particle Conservation Theorems . . . 3.1.1 Conservation of momentum . . . . . 3.1.2 Conservation of angular momentum 3.1.3 Work and the conservation of energy 3.2 Frictional forces and mechanical energy . . 3.3 Examples of conservative forces . . . . . . . 3.4 The damped and driven oscillator . . . . . . 3.4.1 Fourier Expansion . . . . . . . . . . 3.4.2 Green’s Function . . . . . . . . . . . 3.5 Systems of many particles . . . . . . . . . . 3.5.1 Conservation of momentum. . . . . . 3.5.2 Conservation of angular momentum. 3.5.3 The Work-Energy theorem . . . . . 3.6 Collisions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.1 One Dimensional Collisions . . . . . 3.6.2 Two Dimensional Collisions . . . . . 3.7 The Virial Theorem . . . . . . . . . . . . . 4 Newtonian Gravity 4.1 The force law . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Two properties of the gravitational field . 4.3 Simple Applications of Gauss’ Law . . . . 4.3.1 Point mass. . . . . . . . . . . . . . 4.3.2 Spherical charge distribution. . . . 4.3.3 Spherical shell. . . . . . . . . . . . 4.3.4 Infinite line of constant linear mass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 44 47 48 50 51 53 56 58 60 61 63 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 66 66 67 67 71 72 73 74 79 82 85 86 88 93 94 97 100 . . . . . . . 103 . 103 . 105 . 109 . 109 . 110 . 111 . 112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . density (cosmic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . string). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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iv CONTENTS 4.4 4.3.5 Infinite sheet of constant areal mass density: (domain wall) . . . . . 113 The Poisson and Laplace Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 5 Motion under a Central Force 5.1 Symmetries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.1 Spherical Coordinates . . . . . . . . . . 5.1.2 Cylindrical coordinates . . . . . . . . . 5.2 Central Forces . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Inverse square force . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.1 Conic sections . . . . . . . . . . . . . . 5.3.2 Analysis of solutions . . . . . . . . . . . 5.3.3 Kepler’s laws . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Other examples of central forces . . . . . . . . 5.5 Stability of Circular Orbits . . . . . . . . . . . 5.5.1 Bertand’s Theorem . . . . . . . . . . . . 5.6 Scattering by a Central Force . . . . . . . . . . 5.6.1 Differential Cross-Section . . . . . . . . 5.6.2 Dynamical “Friction” (Chandrashekar)* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 . 146 . 147 . 151 . 152 . 154 . 156 . . . . . . . 159 . 160 . 161 . 163 . 163 . 164 . 169 . 169 8 Mechanical Waves 8.1 The Wave Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2 The Wave Equation from Dynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.1 Waves in Strings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 . 174 . 176 . 176 7 Rigid Bodies 7.1 Equations of motion . . . . . . . . . . . 7.2 The Inertia Tensor . . . . . . . . . . . . 7.3 Computing the Inertia Tensor: examples 7.3.1 Homogeneous sphere . . . . . . . 7.3.2 Homogeneous cube . . . . . . . . 7.4 The parallel axis theorem . . . . . . . . 7.5 Dynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 118 118 120 122 125 127 131 132 134 136 139 141 142 143 . . . . . . . . . . . . . . 6 Motion in Non-Inertial Reference Frames 6.1 Newton’s second law in an accelerating frame 6.2 Rotating Frames . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Motion near the surface of the earth. . . . . . 6.3.1 Deflection of a freely falling particle . 6.3.2 Motion of a projectile . . . . . . . . . 6.3.3 The Foucault Pendulum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .