Note for Fluid Mechanics - FM By Devananda Achari
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Lecture notes on Computational Fluid Dynamics Dan S. Henningson Martin Berggren January 13, 2005
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Contents 1 Derivation of the Navier-Stokes equations 1.1 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Kinematics . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Reynolds transport theorem . . . . . . . . . 1.4 Momentum equation . . . . . . . . . . . . . 1.5 Energy equation . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Navier-Stokes equations . . . . . . . . . . . 1.7 Incompressible Navier-Stokes equations . . 1.8 Role of the pressure in incompressible flow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 7 8 14 15 19 20 22 24 2 Flow physics 2.1 Exact solutions . . . . . . . . 2.2 Vorticity and streamfunction 2.3 Potential flow . . . . . . . . . 2.4 Boundary layers . . . . . . . 2.5 Turbulent flow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 29 32 40 48 54 3 Finite volume methods for incompressible flow 3.1 Finite Volume method on arbitrary grids . . . . . 3.2 Finite-volume discretizations of 2D NS . . . . . . 3.3 Summary of the equations . . . . . . . . . . . . . 3.4 Time dependent flows . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 General iteration methods for steady flows . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 59 62 65 66 69 4 Finite element methods for incompressible flow 4.1 FEM for an advection–diffusion problem . . . . . . . . . . 4.1.1 Finite element approximation . . . . . . . . . . . . 4.1.2 The algebraic problem. Assembly. . . . . . . . . . 4.1.3 An example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.4 Matrix properties and solvability . . . . . . . . . . 4.1.5 Stability and accuracy . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.6 Alternative Elements, 3D . . . . . . . . . . . . . . 4.2 FEM for Navier–Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 A variational form of the Navier–Stokes equations 4.2.2 Finite-element approximations . . . . . . . . . . . 4.2.3 The algebraic problem in 2D . . . . . . . . . . . . 4.2.4 Stability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.5 The LBB condition . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.6 Mass conservation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.7 Choice of finite elements. Accuracy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 71 72 73 74 76 76 80 82 83 85 85 86 87 88 88 A Background material A.1 Iterative solutions to linear systems . A.2 Cartesian tensor notation . . . . . . A.2.1 Orthogonal transformation . A.2.2 Cartesian Tensors . . . . . . A.2.3 Permutation tensor . . . . . . A.2.4 Inner products, crossproducts A.2.5 Second rank tensors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 . 95 . 97 . 98 . 99 . 100 . 100 . 100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . and determinants . . . . . . . . . . . . 3 . . . . . . .
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A.2.6 Tensor fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 A.2.7 Gauss & Stokes integral theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 A.2.8 Archimedes principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 B Supplementary material 107 B.1 Syllabus 2005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 B.2 Study questions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
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