Note for Algebra and Number Theory - ANT by Abhishek Apoorv

Topics ( 11 )

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Algebraic Number Theory

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Contents 1 2 3 Notations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 7 12 Preliminaries from Commutative Algebra Basic definitions . . . . . . . . . . . . . . . . Ideals in products of rings . . . . . . . . . . . Noetherian rings . . . . . . . . . . . . . . . . Noetherian modules . . . . . . . . . . . . . . Local rings . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rings of fractions . . . . . . . . . . . . . . . The Chinese remainder theorem . . . . . . . Review of tensor products . . . . . . . . . . . Exercise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 14 15 15 16 17 18 19 21 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rings of Integers First proof that the integral elements form a ring . . . . Dedekind’s proof that the integral elements form a ring Integral elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Review of bases of A-modules . . . . . . . . . . . . . Review of norms and traces . . . . . . . . . . . . . . . Review of bilinear forms . . . . . . . . . . . . . . . . Discriminants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rings of integers are finitely generated . . . . . . . . . Finding the ring of integers . . . . . . . . . . . . . . . Algorithms for finding the ring of integers . . . . . . . Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 25 26 28 31 31 32 33 35 37 40 44 Dedekind Domains; Factorization Discrete valuation rings . . . . . . . . . . Dedekind domains . . . . . . . . . . . . Unique factorization of ideals . . . . . . . The ideal class group . . . . . . . . . . . Discrete valuations . . . . . . . . . . . . Integral closures of Dedekind domains . . Modules over Dedekind domains (sketch). Factorization in extensions . . . . . . . . The primes that ramify . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 45 47 48 51 54 55 56 57 59 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Finding factorizations . . . Examples of factorizations Eisenstein extensions . . . Exercises . . . . . . . . . 4 5 6 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 62 64 66 The Finiteness of the Class Number Norms of ideals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Statement of the main theorem and its consequences . Lattices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Some calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Finiteness of the class number . . . . . . . . . . . . Binary quadratic forms . . . . . . . . . . . . . . . . Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 67 69 72 76 79 80 82 The Unit Theorem Statement of the theorem . . . . . . . . . . . . . Proof that UK is finitely generated . . . . . . . . Computation of the rank . . . . . . . . . . . . . S -units . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Example: CM fields . . . . . . . . . . . . . . . . Example: real quadratic fields . . . . . . . . . . Example: cubic fields with negative discriminant Finding .K/ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Finding a system of fundamental units . . . . . . Regulators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 84 86 87 89 89 90 91 92 92 93 93 Cyclotomic Extensions; Fermat’s Last Theorem. The basic results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Class numbers of cyclotomic fields . . . . . . . . . . . . Units in cyclotomic fields . . . . . . . . . . . . . . . . . The first case of Fermat’s last theorem for regular primes Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 94 100 100 101 103 Absolute Values; Local Fields Absolute Values . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nonarchimedean absolute values . . . . . . . . . . . . . Equivalent absolute values . . . . . . . . . . . . . . . . Properties of discrete valuations . . . . . . . . . . . . . Complete list of absolute values for the rational numbers The primes of a number field . . . . . . . . . . . . . . . The weak approximation theorem . . . . . . . . . . . . Completions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Completions in the nonarchimedean case . . . . . . . . . Newton’s lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Extensions of nonarchimedean absolute values . . . . . . Newton’s polygon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Locally compact fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 104 105 106 108 108 110 112 113 114 118 122 123 125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Unramified extensions of a local field Totally ramified extensions of K . . . Ramification groups . . . . . . . . . . Krasner’s lemma and applications . . Exercises . . . . . . . . . . . . . . . 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Global Fields Extending absolute values . . . . . . . . . . . . The product formula . . . . . . . . . . . . . . Decomposition groups . . . . . . . . . . . . . The Frobenius element . . . . . . . . . . . . . Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Computing Galois groups (the hard way) . . . . Computing Galois groups (the easy way) . . . . Applications of the Chebotarev density theorem Finiteness Theorems . . . . . . . . . . . . . . Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 128 129 130 132 . . . . . . . . . . 134 134 136 138 140 142 143 143 148 150 151 A Solutions to the Exercises 152 B Two-hour examination 159 Bibliography 160 Index 162