Note for Discrete Mathematics - DMS by Śåmŕäț Bisht

Topics ( 8 )

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Lecture Notes on Discrete Mathematics DR AF T October 15, 2018

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AF DR T 2

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Contents 1 Basic Set Theory 1.1 1.2 1.3 5 Basic Set Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.1 Union and Intersection of Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.2 Set Difference, Set Complement and the Power Set . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Relations and Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.1 Composition of Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.2.2 Equivalence Relation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Advanced topics in Set Theory and Relations∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.3.1 Families of Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.3.2 More on Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2 Peano Axioms and Countability 23 2.1.1 Addition, Multiplication and its properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.1.2 Well Ordering in N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.1.3 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.2 Finite and Infinite Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.3 Countable and Uncountable sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.3.1 Cantor’s Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.3.2 Creating Bijections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.3.3 Schr¨ oder-Bernstein Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Integers and Modular Arithmetic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.4 2.5 AF T Peano Axioms and the set of Natural Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DR 2.1 23 Construction of Integers and Rationals∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.5.1 Construction of Integers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.5.2 Construction of Rational Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3 Partial Orders, Lattices and Boolean Algebra 57 3.1 Partial Orders . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.2 Lattices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.3 Boolean Algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 4 Basic Counting 4.1 77 Permutations and Combinations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 4.1.1 Multinomial theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 4.2 Circular Permutations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 4.3 Solutions in Non-negative Integers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 4.4 Set Partitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 4.5 Lattice Paths and Catalan Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 3

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4 CONTENTS 4.6 Some Generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Advanced Counting Principles 5.1 Pigeonhole Principle . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Principle of Inclusion and Exclusion . . . . . . 5.3 Generating Functions . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Recurrence Relation . . . . . . . . . . . . . . . 5.5 Generating Function from Recurrence Relation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 101 101 104 107 116 119 6 Introduction to Logic 127 6.1 Propositional Logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 6.2 Predicate Logic∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T . . . . . . . . . . . . . . . AF . . . . . . . . . . . . . . . DR 7 Graphs 7.1 Basic Concepts . . . . . . . . . . . 7.2 Connectedness . . . . . . . . . . . 7.3 Isomorphism in Graphs . . . . . . 7.4 Trees . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5 Connectivity . . . . . . . . . . . . 7.6 Eulerian Graphs . . . . . . . . . . 7.7 Hamiltonian Graphs . . . . . . . . 7.8 Bipartite Graphs . . . . . . . . . . 7.9 Matching in Graphs . . . . . . . . 7.10 Ramsey Numbers . . . . . . . . . . 7.11 Degree Sequence . . . . . . . . . . 7.12 Planar Graphs . . . . . . . . . . . 7.13 Vertex Coloring . . . . . . . . . . . 7.14 Representing graphs with Matrices 7.14.1 More Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 145 151 154 156 161 163 166 169 170 173 174 175 178 179 180 184